Question

一个正整数加上132和231后都是一个完全平方数，求这个数。

Answer 1

本题重在考查平方差公式。
解:设这个数为X.
X+132=m²;-----------（1）
X+231=n².------------（2） 其中m<n.
用（2）-（1），得：99=n²-m²=(n-m)(n+m).
∵m,n均为整数。
∴n-m与n+m均为正整数，而99=1X99=3X33=9X11。
即(1)n-m=1; ,n+m=99.解得：n=50,X=50²-231=2269;
(2)n-m=3,n+m=33;解之得：n=18,X=18²-231=93;
(3)n-m=9,n+m=11.解之得：n=10,X=10²-231=-131<0。（不合题意，舍去）
综上所述，这个数为2269或93。

Answer 2

x+132=a^2
x+231=b^2
b^2-a^2=99 因为b+a>b-a可作下列分解
(b+a)(b-a)=11*9 或33*3 或 99 *1
(1)为11*9时, b=10,a=1
x=a^2-132=1-132=-131 不为正整数，舍去
(2) 为33*3时, b=18,a=15
x=a^2-132=225-132=93
(3) 为99*1时, b=50,a=49
x=a^2-132=2401-132=2269
最终结果 93 或2269

Answer 3

设该正整数为X，X+32=M^2 X+132=N^2
两式相减（N+M）（N-M）=100
(N+M)+(N-M)=2N 必为偶数
故（N+M）（N-M）同奇同偶
试探可得 （N+M）=50,（N-M）=2
解得N=26,M=24
X=24*24-32=544

Answer 4

x+132=a^2
x+231=b^2
显然相减
（a+b）（a-b）=99*1=33*3=11*9显然a+b>b-a
当a+b=33
b-a=3解b=18 a=15此时x=93
11*9这一对x为负不合题意
b+a=99 b-a=1 得x=2269