Question

大一微积分

1.求f(x)=(1-x)/(1+x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒展开式
（书上有迈克劳林公式：（1+x)^α=1+αX+α（α-1）/2!*x^α+...+α(α-1)...(α-n+1)/n!*x^n+o(x^n) 但是我不知道怎么样代入）
2.求∫arctanX/(x^2*(1+x^2))
3.在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的第一象限部分上求点p，使在该点切线、椭圆及两坐标轴围成的面积最小（a,b为正数）

各位大神最好能给出详细点过程哈...谢谢了！

Answer 1

1、先求1/(1+x)=(1+x)^(-1)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+(-1)^(n+1)*ξ^n，其中ξ在0与x之间
如果不会代，就把上面这个式子作为一个公式记住，这个式子本身也是十分重要的。
f(x)=(1-x-1+1)/(1+x)=2/(1+x)-1
=2(1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+(-1)^(n+1)*ξ^n)-1
=1-2x+2x^2-2x^3+...+(-1)^n2x^n+(-1)^(n+1)*2ξ^n 其中ξ在0与x之间
2、∫arctanX/(x^2*(1+x^2)) dx
=∫arctanx/x^2 dx-∫arctanx/(1+x^2) dx
=-∫arctanx d(1/x)-∫arctanx d(arctanx)
=-1/xarctanx+∫(1/x)*1/(1+x^2) dx-(1/2)(arctanx)^2
下面计算中间这个积分
∫1/[x(1+x^2)] dx
先拆项：1/[x(1+x^2)]=A/x+(Bx+C)/(1+x^2)，相加比较系数后得：A=1，B=-1，C=0
则∫1/[x(1+x^2)] dx=∫1/x dx-∫x/(1+x^2) dx
=ln|x|-1/2∫1/(1+x^2) d(x^2)
=ln|x|-ln(1+x^2)+C
代回原式得：原式=-1/xarctanx+ln|x|-ln(1+x^2)-(1/2)(arctanx)^2+C

3、注意到，所求面积=三角形面积分-四分之一椭圆面积
而那个“四分之一椭圆面积”是不会变的，因此本题就是求三角形面积的最小值。
设P点坐标为(u，v)，先求该点处切线斜率：椭圆两边求导2x/a^2+2yy'/b^2=0
将(u，v)代入得：y'=-(b^2u)/(a^2v)
切线方程为：y-v=-(b^2u)/(a^2v)*(x-u)
切线与x轴交点为：(a^2v^2+b^2u^2)/(b^2u)
切线与y轴交点为：(a^2v^2+b^2u^2)/(a^2v)
注意，u，v是满足椭圆方程的，由椭圆方程知：a^2v^2+b^2u^2=a^2b^2，则
切线与x轴交点为：a^2/u
切线与y轴交点为：b^2/v
则三角形面积为：(1/2)*(a^2b^2)/(uv)
求其最小值点，相当于求uv的最大值点
本题转化为求uv的最大值，且u，v满足u^2/a^2+v^2/b^2=1
用拉格朗日乘数法
设F(u,v,λ)=uv+λ(u^2/a^2+v^2/b^2-1)
Fu=v+2λu/a^2=0
Fv=u+2λv/b^2=0
u^2/a^2+v^2/b^2-1=0
解得：u^2/a^2=v^2/b^2
得：u=a/√2，v=b/√2