Question

已知椭圆的中心在坐标原点O,一个焦点与抛物线y^2=4x的交点重合，且椭圆的离心率是√2/2，

求椭圆方程，2.直线l过点p(0.2)且与椭圆相交于AB两点，当△AOB的面积最大时。求直线l的方程？最好两小时之内给答案。。求详细过程。

Answer 1

抛物线：y^2=2*2x, 焦点F（1，0），
对椭圆，c=1,e=c/a=√2/2，a=√2，
b^2=a^2-c^2=2-1=1,
∴椭圆方程为：x^2/2+y^2=1.
2、设直线方程为：y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
O至AB距离d=2/√（1+k^2）,
x^2/2+(kx+2)^2=1,
(1+2k^2)x^2+8kx+6=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-8k/(1+2k^2),
x1*x2=6/(1+2k^2),
根据弦长公式：
|AB|=√（1+k^2）(x1-x2)^2=√（1+k^2）[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√（1+k^2）[64k^2/(1+2k^2)^2-24/(1+2k^2)]
=√（1+k^2）[(64k^2-24-48k^2)/(1+2k^2)^2]
=[2/(1+2k^2)]√（1+k^2）(4k^2-6)
S△OAB=（1/2）[2/√（1+k^2）]* [2/(1+2k^2)]√（1+k^2）(4k^2-6)
=2[√ (4k^2-6)]/（1+2k^2）,
对k求导数，并令其为0。
8k（-2k^2+7）/(1+2k^2)^2=0,
2k^2=7,
k=±√14/2,
∴当直线方程为y=(±√14/2)x+2时，三角形OAB面积最大。

Answer 2

1.(1,0) c=1 a=√2 b^2=2-1=1 x^2/2+y^2=1
2.设直线y=kx+2，令y=0,x=-2/k 代人椭圆方程得(1+2k^2)y^2-4y+4-2k^2=0 y1+y2=4/(1+2k^2)
y1y2=(4-2k^2)/(1+2k^2) 所以|y1-y2|=[√(16k^4-24k^2)]/(1+2k^2)
面积=1/2*|-2/k|*|y1-y2|=1/|k|*|[√(16k^4-24k^2)]/(1+2k^2)=[√(16k^2-24)]/(1+2k^2)
=2√2*[√(2k^2-3)/(1+2k^2)]<=√2/2，当且仅当k=±√14/2
所以直线方程为y=±√14/2*x+2