Question

已知函数f(x)=丨x+1丨+丨x+2丨+...+丨x+2011丨+丨x-1丨+丨x-2丨+丨+...+丨x-2011丨，

若（a2-3a+2）+f（a-1），则满足条件的所有正整数a的值得和为

Answer 1

解：∵函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2011|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|=f（x）
即函数f（x）为偶函数
若f（a2-3a+2）=f（a-1），
则a2-3a+2=a-1，或a2-3a+2=-（a-1）
即a2-4a+3=0，或a2-2a+1=0
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴当a=2时，也满足要求
故满足条件的所有整数a的和是1+2+3=6
故答案为6

Answer 2

首先分析f(x)的性质：可以得出f(x)为偶函数，并且f(x)在x>0时单调递增，在x<0是单调递减。
因此若f（x）=f（y），必有x+y=0；
所以由题意有：
a2-3a+2=1-a；
由此可得解为a1=a2=1，所以满足条件的所有正整数a只有1，因此和为1