Question

如图，已知二次函数y=ax^+bx+c的图像经过A（-2,0）、B(4,0)、C(0,3)三点，联结BC,AC,该二次函数图像的对称

如图，已知二次函数y=ax^+bx+c的图像经过A（-2,0）、B(4,0)、C(0,3)三点，联结BC,AC,该二次函数图像的对称轴与x轴相交于点D
（1）求这个二次函数的解析式，点D的坐标及直线BC的函数解析式
（2）在线段BC上是否存在点Q，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：1）设过A、B、C三点的二次函数解析式为y=ax^2+bx+c(a≠0）
则：0=a(-2)^2+b(-2)+c(1)
0=a4^2+4b+c(2)
3=c(3)
由(1),(2),(3)式可求得a=-3/8,b=3/4,c=3
故y=-3/8x^2+3/4x+3；
(X1+X2)/2=(-2+4)/2=1,对称轴为x=1,故D（1，0）；
设过B、C的直线为y=kx+3,因直线过（4，0）
则0=4k+3,k=-3/4,所以y=-3/4x+3.
2)存在,并且BC上有两个这样的点。
（1）当DQ平行于AC时，△BDQ∽△BAC，设BC上的高为h,则
h:OC=BD:BA,即h:3=3:6,h=1.5;把y=1.5代入y=-3/4x+3
可求得x=2.则Q（2，1.5)
(2)当BD:BQ=BC:BA时，△BDQ∽△BAC,BQ:BD=BA:BC
由BC^2=OC^2+OB^2可求得BC=5,则BQ:3=6:5,BQ=3.6
设此时Q离X轴距离为m,则m:CO=BQ:BC,即m:3=3.6:5.
∴m=2.16,即Q点的纵坐标，则2.16=-3/4x+3,x=1.12
故Q（1.12,2.16)
（3）存在这样的P点，应该有四个。坐标分别为：
（2，3）、（6，-6）、
（4+√10，[-9-3√10]/4）、
（4-√10，[-9+3√10]/4）。 如果第三题有什么疑问，可以说一下，再给你解释一下。

Answer 2

数形结合；分类讨论．分析：（1）首先过C作CD⊥x轴于G．构造△OAB的中位线CG，根据A、B点的坐标及三角形中位线的性质不难求得点C的坐标．由于△ABO∽△ADC，利用相似三角形的性质解得AD的长，那么D点的坐标也就确定．
（2）运用待定系数法求解．假设过B（0，4），C（1，2），D（-3，0）的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，将三点坐标值代入联立组成三元一次方程组解得a、b、c的值．
（3）设点P的坐标为（x，y）连BD，过点P作PH⊥x轴于H，交BD于E．观察图象发现S四边形PBCD=S△BCD+S△PBD，
因为S△BCD=S△ACD为定值，所以要使四边形PBCD的面积最大就是使△PBD的面积最大．再分别就①当P在BD间的抛物线上时（即-3＜x＜0）；②当P在BC间的抛物线上时（即0＜x＜1）时，讨论x的取值，进而得到P点的坐标，并验证结果的合理性．解答：解：（1）过C作CD⊥x轴于G，
∵点C为线段AB的中点，
∴CG是△OAB的中位线，
∴点G的坐标是（1，2），┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）
又∵OA=2，OB=4，
∴AB= ，AC= ，
显然△ABO∽△ADC，
∴ ，
即 ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2分）
∴AD=5OD=AD-OA=3，
∴点D的坐标是（-3，0）；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）
（2）解：设过B（0，4），C（1，2），D（-3，0）的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
∴ ，┅┅┅┅┅┅（4分）
解得： ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）
∴抛物线的关系式为 ；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）

（3）解：设点P的坐标为（x，y）连BD，过点P作PH⊥x轴于H，交BD于E，
S四边形PBCD=S△BCD+S△PBD，
∵S△BCD=S△ACD为定值，
∴要使四边形PBCD的面积最大就是使△PBD的面积最大，
①当P在BD间的抛物线上时，即-3＜x＜0，
S△PBD=S△PBE+S△PED= PE×DH+ PE×OH= PE×OD= PE，

∵PE=PH-EH=yP-yE，┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）
直线BD的关系式为y= ，
∴PE= ，
= ，
当x= 时，PE最大为 ，
∴点P的坐标（ ， ），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）
②当P在BC间的抛物线上时，即0＜x＜1，
同理可求出四边形PBCD的面积，
很显然，此时四边形PBCD的面积要小于点P在BD间的抛物线上时的四边形PBCD的面积，
故P点的坐标是（ ， ）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9分）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果；并有效利用了坐标与线段的数形结合．

Answer 3

y=ax^+bx+c
A（-2,0）、B(4,0)、C(0,3)
4a-2b+c=0
16a+4b+c=0
c=3

解得 a=-3/8 b=3/4 c=3
f(x)=-3x^2/8+3x/4+3

-b/(2a)=1
D(1,0)

2) BC^2=(4-0)^2+(0-3)^2=25
BC=5
AB=4-(-2)=6

DB=AB/2=3

若存在Q 则 QB/DB=AB/BC 得 QB/3=6/5 QB=18/5
Qx=OB*QC/BC=4*(5-18/5)/5=28/25
Qy=OC*QB/BC=3*18/5*1/5=54/25
Q(18/25, 54/25)
或者 QD与AC平行 QB/DB=BC/AB 得 QB=5/2
Qx=OB*QC/BC=4*(5-5/2)/5=2
Qy=OC*QB/BC=3*5/2*1/5=3/2
Q(2. 3/2)

Answer 4

1) 这一问很简单,不过就是三元一次方程组而已.
二次函数解析式为y=-3x²/8+3x/4+3
D点坐标(1,27/8)
直线BC解析式 y=-3x/4+3

2) 存在,而且存在两个.
第一个就是BC的中点坐标(2,3/2).此时DQ//AC
另外一个是BD/BC=DQ/AC的时候
此时设Q点坐标为(m,n)
根据上面的比例和BC的方程可以得到关于m,n的一个方程组,解出来即得到Q点的坐标.
这里要注意m∈(0,4),要舍去在这个范围外的那个值.
有一定的计算量,结果太麻烦,不方便输入.

Answer 5

把A。B点带入交点式，y=a（x+2）（x-4），求出来以后，把C点带入就可以求出解析式！
用公式法：-2a/b和4a/4ac-b方。就可以求出D点、
把B.C点带入一次函数y=ax-b，求出一次函数的表达式