Question

若f(√x+1)=x+2√x，则f(x)的反函数？

关键是反函数的定义域！！！谢谢

Answer 1

解：f(√x+1)=x+2√x=(√x+1)^2-1，故f(x)=x^2-1，x≥1,f(x)≥0。
由y=x^2-1，x≥1,f(x)≥0解得x=√(y+1)，故f(x)的反函数为
y=f^(-1) (x)=√(x+1)，x≥0。
注意：反函数的定义域就是原函数的值域，原函数值域f(x)≥0，故反函数的定义域为x≥0。

Answer 2

因为f(√x+1)=x+2√x=(√x+1)^2-1，因为√x≥0，所以√x+1≥1，所以f(x)=x^2-1 (x≥1)
并且f(x)=x^2-1≥1-1=0，故f(x)的值域为[0,+∞)
令g(x)为f(x)的反函数，所以g(x)=√(x+1) (x≥0)