Question

已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y).且当x>0时，f(x)>0,f(-1)=-2. (1):求证f(x)增函数. ...

已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y).且当x>0时，f(x)>0,f(-1)=-2.
(1):求证f(x)增函数.
(2),f(x)求在区间[-2,1]上的值域

Answer 1

f(x)为增函数 f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=-4
f(x+0)=f（x）+f（0）=>f(0)=0
f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)=0 =>f(1)=2
函数为增函数函数单调f(x)在区间[-2,1]的值域[-4,2].

Answer 2

证明：∵f（0）=2f(0)=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）=0
∴f（x）=-f（-x）
∴f（x）为奇函数
令0＜x1＜x2，又∵当x＞0时，f（x）＞0
f（x2）=f（x1）+f（x2-x1）＞f（x1）
∴f（x）为增
2）值域为[-4,2]

Answer 3

f(x+y)=f(x)+f(y).
当x>0时，f(x)>0
∴f(x)+f(y)＞f（y）
∴f(x)增函数

值域[-4,2]

Answer 4

1、取x1>x2，则x1－x2>0即f(x1－x2)>0，则f(x1)－f(x2)=f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)=【f(x1－x2)＋f(x2)】－f(x2)=f(x1－x2)>0，则f(x)增；
2、以y=－x代入，得：f(0)=f(x)＋f(－x)，因f(0)=0，则f(－x)=－f(x)，f(x)奇

Answer 5

令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)为奇函数
当x>0，f(x)>0
为增函数
因f(-x）=-f(x) f(-1)=-2
所f(1)=-f(-1)=2
因f(x+y)=f(x)+f(y)
所f(2)=f(1)+f(1)=4
f(-2)=-f(2)=-4
因增[-4,2]

Answer 6

函数定义域是R，令x=y=0得，f(0+0)=f(0)+f(0).所以f(0）=0，再令y=-x，带入得：f(0)=f(x)＋f(－x)，所以f(x)是奇函数，可得其单调性在（-∞，0）和（0，∞）是相同的，故令取x1>x2>0，f(x1－x2)，下面字不够