Question

已知动点p到点F(1/2,0)的距离比它到直线L:X=-1的距离小0.5,直线y=x-m与动点p的轨迹相交于A，B两点。

（1）求点P的轨迹方程。
（2）当m=2时，证明OA⊥OB。（O为坐标原点）
（3）是否存在实数m，使得向量OA乘向量OB=-1？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

已知平面内动点P到点F(1，0）的距离比点P到直线X=-2的距离小1. 则Pp=1 焦点(1,0) 方程y^2=4x

Answer 2

（1）易知P的轨迹在直线L的右侧且与L的距离大于0.5，所以可以将直线平移至L‘：X= - (1/2)，则P满足到L’和到F的距离相等，则由定义知P的轨迹是以F为焦点，L‘为准线的抛物线，即：y²=2x。
（2）将m带入把A、B点坐标解出来，再计算A的横坐标与B的纵坐标之积加A的纵坐标与B的横坐标之积为零就行了
（3）设A(a²/2,a)，B(b²/2,b)，则若A、B满足条件，那么由向量积为-1有①a²/2*b+b²/2*a= -1；由直线AB斜率为1有②(a-b)/(a²/2-b²/2)=1。联立解这两个方程，如果有解，可以求出A、B点的坐标，带入直线方程可以解出m，反之则m不存在。（计算很简单，就自己练练吧少年）