Question

已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点

已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB面积相等的四边形ACPB的点P的坐标；
（3）求△APD的面积．

主要是第三题！
（1）D(1,4) y=-x^2+2x+3
(2)P(2,3)
(3)求高手解答！

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴
交于A（-1，0）
∴a+2a+c=0c=3​，
解得a=-1c=3​，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∵y=-（x2-2x）+3=-（x2-2x+1-1）+3=-（x-1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
答：抛物线的解析式是y=-x2+2x+3，顶点D的坐标是（1，4）．

（2）解：连接BC，过点D作DE⊥x轴于点E．

令y=0则-x2+2x+3=0，
∴x1=-1，x2=3
∴点B的坐标为（3，0），
∴S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OEDC+S△EBD=12×1×3+
12×(3+4)×1+
12×2×4=9
∵S△ABC=
12×4×3=6
∴S△BCD=3
∵点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，S四边形ACDB=S四边形ACPB，
∴S△BCP=S△BCD=3，
∴点P是过D且与直线BC平行的直线和抛物线的交点，
而直线BC的函数解析式为y=-x+3，
∴设直线DP的函数解析式为y=-x+b，过点D（1，4），
∴-1+b=4，b=5，
∴直线DP的函数解析式为y=-x+5，
把y=-x+5代入y=-x2+2x+3中，解得x1=1，x2=2，
∴点P的坐标为（2，3），
答：与四边形ACDB面积相等的四边形ACPB的点P的坐标是（2，3）．

（3）解：∵点P与点C关于DE对称，点B与点A关于DE对称，
∴△APD≌△BCD，
∴S△APD=S△BCD=3，
答：△APD的面积是3．

Answer 2

(3)过点D作DM垂直于AB,过点P作PN垂直于DM 设直线ap为y=ax+b过点A(-1,0)P(2,3)代入解得a=1b=1,所以解析式为y=x+1因为D(1,4)所以G的横坐标为1M(1,0)所以当X=1时Y=2G(1,2)所以S三角形=S三角形ADM-S三角形AMD+S三角形DPG,所以S三角形APD=3

Answer 3

解:(1)y=ax^2-2ax+3,代入（0,3），（-1,0）得a=-1,y=-x^2+2*x+3.（1）
D:(1,4)
(2)S(ABDC)=1/2*1*3+1/2*(3+4)*1+1/2*2*4=9
设点为:(x,y),有1/2*1*3+1/2*（3+y）*x+1/2*（3-x）*y=9,
3/2+3/2(x+y)=9
x+y=5,代入方程（1）中，得x=2或1(舍去).
P(2,3)
(3)过P作x轴的垂线，设垂足为Q,，过D点作X轴垂线，设垂足为E，四边形ADPQ的面积既可以用三角形ADP+三角形AQP计算，又可用三角形ADE+梯形DEQP计算，于是1/2*2*4+1/2*（4+3）*1=S+1/2*3*3,S=3

追问

算的是三角形ADP的面积

追答

恩，表示的有点不清楚，S表示的就是三角形ADP的面积，而不是四边形ADPQ的

Answer 4

1
c=3(交点C代到抛物线方程里)
a+2a+c=0（A点坐标代进方程）
有a=-1
y=-x^2+2x+3
那么D 坐标 （1,4）
2
ACDB面积=S△ACB+S△BCD
而ACPB面积=S△ACB+S△BCP
那么实际上就是S△BCD=S△BCP
由于BC为△BCP与△BCD的公共底 那么P点坐标只要满足：
（1） 在抛物线上
（2）到BC的距离和D到BC的距离相等
这两个条件即可。 根据这个便可以解出P的坐标
3
△APD 三个点的坐标都是知道的 算面积不难吧。

Answer 5

解：（1）∵C（0，3）和A（3，0）在抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）上，
∴ ，
解得 ．
∴所求抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）存在，点F的坐标为（2，3），
理由：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）．
设直线CD的解析式为y=mx+n，
则 ，
解得 ．
∴设直线CD的解析式为y=x+3．
在y=x+3中，当y=0时，x=-3，
∴E（-3，0）．
在y=-x2+2x+3中，当y=0时，x=-1或3，
∴B（-1，0），
∵以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴F点的坐标为（-2，3）或（2，3）或（-4，-3）．
代入抛物线的解析式，只有（2，3）符合．
∴存在点F，坐标为（2，3）；
（3）①当直线MN在x轴上方时，
设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，r），
∵N（r+1，r）在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴-（r+1）2+2（r+1）+3=r，
解得 ， （不合，舍去），
②当直线MN在x轴下方时，
设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，-R）．
∵N（R+1，-R）在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴-（R+1）2+2（R+1）+3=-R．
解得 ， （不合，舍去），
综合①②可知，圆半径的长度为 或 ．