Question

求解，在区间〔0，1〕上任取两实数a.b则函数y＝½x³＋ax-b在区间〔-1，+1〕有且只有一个零点的概

如题，只给结果无解答过程也行
概率，发现字打掉了

Answer 1

令f(x)=1/2x³+ax-b，则f'(x)=3/2x²+a
∵a,b∈〔0，1〕,∴f'(x)>0，
f(x)在〔-1，+1〕上为增函数，
f(x)在〔-1，+1〕上有且只有一个零点，
只需且必须f(-1)≤0,且f(1)≥0。
1/2+a+b ≥ 0，且 1/2+a+b ≥ 0总成立，
所以只需 a-b +1/2≥ 0即可，
建立直角坐标系aOb,点（a,b)满足
a-b +1/2≥ 0
线性约束条件 0≤a≤1 （*）
0≤b≤1
这是一个几何概型问题
其中基本事件空间Ω为边长为1的正方形，面积为1，
事件A满足（*）表示在 a-b +1/2= 0右侧，
且在正方形内部的区域.面积为7/8.
所以P(A)=7/8
于是所求概率为7/8

Answer 2

答案为1/8.
设y=f(x)=1/2*x^3+ax-b，则f'(x)=3/2*x^2+a>0，故在区间〔-1，+1〕上f(x)为严格单增函数，要使在该区间上有且只有一个零点，只需且必须f(-1)*f(1)<0。
于是有(-1/2-a-b)(1/2+a-b)<0，得1/2+a-b>0。问题转化为：
在区间〔0，1〕上任取两实数a.b，求满足1/2+a-b>0的概率。考虑a、b的无关性，本题就成为了一个二维概率问题。
为了便于理解，上述问题与下面的描述等价：在区间〔0，1〕上任取两实数x.y，求满足1/2+x-y>0的概率。
考虑平面直角坐标系xoy，设A(0,0),B(1.0),C(1,1),D(0,1),易知ABCD为边长为1的正方形。作出直线1/2+x-y=0，显然将该正方形分成了上下两部分。上面的等腰直角三角形的面积为1/8，仅在在该区域满足1/2+x-y>0。于是所求概率为1/8÷1=1/8.
希望能帮到你