Question

微积分证明

Answer 1

证明：令F(x)=f(x)-1/3x^3，分别在[0 1/2]和[1/2 1]上对F用Lagrange中值定理，得存在a位于(0 1/2)和b位于(1/2 1)，使得F(1/2)-F(0)=F’(a)(1/2-0)，F(1)-F(1/2)=F’(b)(1-1/2)，即f’(a)-a^2=2(F(1/2)-F(0))，f’(b)-b^2=2(F(1)-F(1/2))，两式相加得f’(a)+f’(b)-a^2-b^2=2(F(1)-F(1/2)+F(1/2)-F(0))=0.结论成立。