Question

已知Rt三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0)B(3,0),求(1)直角顶点C的轨迹方程

已知Rt三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0)B(3,0),求（1）直角顶点C的轨迹方程（2）直角边BC中点M的轨迹方程

Answer 1

解1设C(x，y)
则由题知直线CA,CB互相垂直
则KcaKcb=-1
即（y-0）/（x-（-1））×（y-0）/（x-3）=-1
即y^2/（x+1）（x-3）=-1
即y^2=-（x^2-2x-3）
得到C的轨迹方程为
x^2+y^2-2x-3=0（x≠-1且x≠3)
2取AB边的中点T，
连结TM，则M(1,0)
则ΔABC相似于ΔTBM
故ΔTBM为直角三角形
则直线MT,MB垂直
则KmtKmb=-1
设M(x，y)
则（y-0）/（x-1）×（y-0）/（x-3）=-1
即y^2/（x-1）×（x-3）=-1
即y^2=-(x^2-4x+3）
即M的轨迹方程为
y^2+x^2-4x+3=0（x≠1且x≠3）

Answer 2

CB互相垂直
则KcaKcb=-1
即（y-0）/解1设C(x;（x+1）（x-3）=-1
即y^2=-（x^2-2x-3）
得到C的轨迹方程为
x^2+y^2-2x-3=0（x≠-1且x≠3)
2取AB边的中点T，y)
则（y-0）/，
连结TM,MB垂直
则KmtKmb=-1
设M(x;（x-3）=-1
即y^2/，则M(1;（x-3）=-1
即y^2/（x-（-1））×（y-0）/，y)
则由题知直线CA,0)
则ΔABC相似于ΔTBM
故ΔTBM为直角三角形
则直线MT;（x-1）×（y-0）/

Answer 3

1)C就在以AB为直径的圆上。
AB中点为(1,0),r=|AB|/2=2
因此C的轨迹方程为(x-1)^2+y^2=4
2)设C(x,y), M(a,b)
则a=(x+3)/2, b=y/2
有x=2a-3, y=2b
将x,y代入圆的方程，得：(2a-3-1)^2+(2b)^2=4
即(a-2)^2+b^2=1，此即为中点M(a,b)的轨迹方程。
将其改为M(x,y)的形式，即为(x-2)^2+y^2=1