Question

已知函数f(x)=x^2-alnx (a属于R)，若a=2

已知函数f(x)=x^2-alnx (a属于R)，
(1) 若a=2,求证f(x)在 (1,正无穷大) 上是增函数
（2） 求f(x)在 [1，正无穷大）上的最小值
谢谢

Answer 1

（1）f(x)=x^2-2lnx
f'(x)=2x-2/x=2(x-1)(x+1)/x
f'(x)=0,则x=±1，定义域为x>0,画出f'(x)的图，x>1,f'(x)>0,f(x)为增函数
（2) f'(x)=2x-a/x=(2x^2-a)/x,定义域：(0,∞)；
若a≤0则：f'(x)>0,f(x)无最小值；
若a>0,f‘(x)=0,x=根号a/2(打不出，注意x>0）,
x>根号（a/2），f'(x)>0,0<x<根号a/2
则：f(x)min=f【根号（a/2)】,
当x≥1时
比较根号（a/2）与1的大小，再求最小值
当a>2时，根号（a/2)>1, f(x)min=f【根号（a/2)】,
当0<a≤2时，根号（a/2)≤1,f(x)min=f(1)
综合可得：，定义域为【1，∞】时，当a>2时， f(x)min=f【根号（a/2)】,
当0<a≤2时，,f(x)min=f(1)
若a≤0则：f'(x)>0,f(x)无最小值；

Answer 2

n已知函数f(x)=x^2-alnx (a属于R)，
(1) 若a=2,求证f(x)在 (1,正无穷大) 上是增函数
（2） 求f(x)在 [1，正无穷大）上的最小值
谢谢（1）f(x)=x^2-2lnx
f'(x)=2x-2/x=2(x-1)(x+1)/x
f'(x)=0,则x=±1，定义域为x>0,画出f'(x)的图，x>1,f'(x)>0,f(x)为增函数

Answer 3

（1）f(x)=x^2-2lnx
f'(x)=2x-2/x=2(x-1)(x+1)/x
f'(x)=0,则x=±1，定义域为x>0,画出f'(x)的图，x>1,f'(x)>0,f(x)为增函数
（2)
f'(x)=2x-a/x=(2x^2-a)/x,定义域：(0,∞)；
若a≤0则：f'(x)>0,f(x)无最小值；
若a>0,f‘(x)=0,x=根号a/2(打不出，注意x>0）,
x>根号（a/2），f'(x)>0,0<x<根号a/2
则：f(x)min=f【根号（a/2)】,
当x≥1时
比较根号（a/2）与1的大小，再求最小值
当a>2时，根号（a/2)>1,
f(x)min=f【根号（a/2)】,
当0<a≤2时，根号（a/2)≤1,f(x)min=f(1)
综合可得：，定义域为【1，∞】时，当a>2时，
f(x)min=f【根号（a/2)】,
当0<a≤2时，,f(x)min=f(1)
若a≤0则：f'(x)>0,f(x)无最小值；