Question

已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的弦ac和bd,且ac垂直bd，则四边形abcd的面积最大值为

答案为49...

Answer 1

根据圆的公式转变得圆的标准方程：(x-3)^2 +(y-4)^2 =25，即圆心为(3,4)，半径为5，

该圆过点(3,5)设为 P点，AB，CD相交于P且垂直。

设弦AB所在直线斜率为k，因为两相交垂直直线斜率乘积为-1，直线CD斜率为 - (1/k)，

则直线AB：y-5 = k (x-3) ，整理得 kx-y-3k+5=0，

直线CD：y-5 = - (1/k) (x-3)，整理得 x/k + y - 3/k - 5=0。

点到直线的距离公式见下图

四边形ACBD面积为1/2 |AB| |CD|

通过O点到直线AB和CD的距离代入公式算出

 |AB|=2√[25- (1/(k^2+1))]，|CD|=2√{25- [k^2/(k^2+1)]}

所以四边形面积=1/2 |AB| |CD|=2√{600-[1/(k+1/k)]^2}

要这个面积取得最大值，就需要[1/(k+1/k)]^2得最小值，则k应取无穷大，则AB斜率为垂直。

得四边形面积=2√600 =20√6 =49

则当AB过P,O两点，于CD垂直时，四边形得最大值49。

有不懂的再联系吧

Answer 2

四边形的面积等于过（3，5）点的两弦长乘积的一半。所以只要求出两弦乘积的最大值即可。