Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．【要答案和详细的计算过程和证明原因】

Answer 1

1）证：AE平分∠BAD，∠DAE=∠BAE；⊙O过A、E两点，OA=OE，∠OAE=∠OEA；
于是∠OEA=∠OAE=∠BAE=∠DAE，得OE平行AD；
AB=AC，D是BC中点，AD垂直BC；得OE垂直BC，故BC与⊙O相切；
2）解：点O是AB上一点，得AF为⊙O的直径，得△AGF和△AEF为直角三角形；
且知∠GAE=∠EAF=30°，∠GAF=60°从而计算得∠GFA=30°，∠EFA=60°，
得∠EFG=30°

Answer 2

（1）证明：连接OE．
∵AB=AC且D是BC中点，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
则∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，AD⊥BC，EO∥AD，
∴∠BAD=∠EOB=60°且AE平分∠BAD，
∴∠EAO=∠EAG=30°
又∵∠EFG与∠DAE都对应弧GE
∴∠EFG=∠GAE=30°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠EFG=30°．

Answer 3

（1）证明：连接OE，有：∠OAE=∠AEO，
∵AE平分∠BAD，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠AEO=∠DAE，
∴OE∥AD，
又∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴OE⊥BC，
∴BC与⊙O相切；

（2）由已知：在Rt△ADB中，∵AB=5，BD=12BC=4，
∴AD=AB2-BD2=52-42=3，
设圆的半径为r，则OB=5-r
∵OE∥AD，
∴△BOE∽△BAD，
∴OEAD=
OBAB，
即r3=
5-r5，
解得r=
158．