Question

如图,在等边△ABC中,P,Q分别在AC、BC中，且AP=CQ，AQ与BP交于M,在BM上取点N，使MN=MQ

如图,在等边△ABC中,P,Q分别在AC、BC中，且AP=CQ，AQ与BP交于M,在BM上取点N，使MN=MQ，连接NQ。
（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）求∠AMP的度数；
（3）若QN的长为3cm，求△MNQ的周长

Answer 1

（1）
证明：
∵△ABC是直角三角形
∴AB=AC，∠BAP=∠C=60°
∵AP=CQ
∴△ABP≌△ACQ
（2）
∵△ABP≌△ACQ
∴∠ABM=∠CAQ
∴∠AMP=∠ABM+∠BAM=∠CAQ+∠BAM=∠BAC=60°
（3）
∵∠NMQ=∠AMP=60°，MN=MQ
∴△MNQ是等边三角形
∵QN=3cm
∴△MNQ的周长为3+3+3=9cm

Answer 2

（1）
证明：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC
在△ABP和△CAQ中，
AB=AC，∠BAC=∠C，AP=CQ
∴△ABP≌△CAQ
（2）
∵△ABP≌△ACQ
∴∠ABM=∠CAQ
∴∠AMP=∠ABM+∠BAM=∠CAQ+∠BAM=∠BAC=60°
（3）
∵∠NMQ=∠AMP=60°，MN=MQ
∴△MNQ是等边三角形
∵QN=3cm
∴=3cm
∴C△MNQ=MN+MQ+QN=3+3+3=9cm
（希望可以帮到你）