Question

如图，在平面直角坐标系中，圆C与y轴相切,且C点坐标为(1,0),直线L过点A(-1,0),与圆C相切于点D;

（1）求点D的坐标
(2)设直线L与y轴交于点B，求过A，B，C三点抛物线的解析式
（3）求有AD，AO与弧OD围成的图形的面积S

Answer 1

（1）连结CD，设D（x,y) (0<x,y<1)
圆C的方程：(x-1)^2 + y^2=1
Rt△ADC中，AD = √（4-1）=√3
Rt△ADC中，1/2 AD*CD = 1/2 AC*y，√3*1 = 2y，y = √3/2
D在圆C上，(x-1)^2=1/4，x=1/2
D(1/2,√3/2)
（2）直线L过A（-1，0）设直线L的方程：y=k(x+1)
D(1/2,√3/2)在L上，有√3/2=k*(3/2)，k=√3/3,
直线L的方程：y=√3/3(x+1)
当x=0时，y=√3/3，B(0,√3/3)
A（-1，0），C（1，0）
抛物线过A,B,C三点，可知抛物线开口向下，对称轴为y轴
设y=ax^2+√3/3 过A（-1，0）解得：a=-√3/3
抛物线的解析式：y=-√3/3(x^2-1)
（3）
S的面积等于Rt△ADC的面积-扇形COD的面积
由（1）得，∠ACD=π/3
扇形COD的面积=(π/3)/ 2π * π *1*1=π/6
Rt△ADC的面积=(1/2)*2*(√3/2)=√3/2
所以S=√3/2-π/6