Question

已知函数f(x)＝-x^2-2x,g(x)＝x+ 1/4x (x＞0) ,若方程g[f(x)]-a＝

已知函数f(x)＝-x^2-2x,g(x)＝x+ 1/4x (x＞0) ,若方程g[f(x)]-a＝0的实数根个数有4个,求a取值范围,要过程,谢谢

Answer 1

令t=f(x)=-x²-2x，设t>0，则解得 -2<x<0
x²+2x+t=0 (1)
方程g[f(x)]-a=0
可化为
t+1/4t -a=0
4t²-4at+1=0 (2)
要使方程g[f(x)]-a=0 有4个不同的实根，
则方程（1）在（-2，0）上有两个不同的解，并且方程（2）有两个不同的正解。
①由方程(1)在（-2，0）上有两个不同的解，
令 h(x)=x²+2x+t，对称轴为x=-1，则
h(-2)=h(0)=t>0，h(-1)=t-1<0，
解得 0<t<1
②由方程(2)有两个不同的正解，且在（0，1）内，
令φ(t)=4t²-4at+1，对称轴为t=a/2，则
φ(0)=1>0，φ(1)=5-4a>0，φ(a/2)=1-a²<0，0<a/2<1
解得 1<a<5/4

Answer 2

楼上回答正确