Question

高中数学向量公式有哪些？

Answer 1

设a=（x，y），b=(x'，y')。
　　
1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
　　AB+BC=AC。
　　a+b=(x+x'，y+y')。
　　a+0=0+a=a。
　　向量加法的运算律：
　　交换律：a+b=b+a；
　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
　　
2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
　　
4、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
　　当λ＞0时，λa与a同方向；
　　当λ＜0时，λa与a反方向；
　　当λ=0时，λa=0，方向任意。
　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
　　数与向量的乘法满足下面的运算律
　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
　　
3、向量的的数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
　　向量的数量积的运算律
　　a·b=b·a（交换律）；
　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；
　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
　　向量的数量积的性质
　　a·a=|a|的平方。
　　a⊥b 〈=〉a·b=0。
　　|a·b|≤|a|·|b|。
　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
　　3、|a·b|≠|a|·|b|
　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
　　
4、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
　　向量的向量积性质：
　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
　　a×a=0。
　　a‖b〈=〉a×b=0。
　　向量的向量积运算律
　　a×b=-b×a；
　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
　　（a+b）×c=a×c+b×c.
　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
　　
向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
　　① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
　　② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
　　① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
　　② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
　　
定比分点

　　定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）
　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
　　若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
　　x=(x1+λx2)/(1+λ),
　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
　　三点共线定理
　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
　　三角形重心判断式
　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
　　a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
　　零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
　　a⊥b的充要条件是 a·b=0。
　　a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
　　零向量0垂直于任何向量.

追问

谢了

Answer 2

亲爱的楼主：
设a=（x，y），b=(x'，y')。
　　
1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
　　AB+BC=AC。
　　a+b=(x+x'，y+y')。
　　a+0=0+a=a。
　　向量加法的运算律：
　　交换律：a+b=b+a；
　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
　　
2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
　　
4、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
　　当λ＞0时，λa与a同方向；
　　当λ＜0时，λa与a反方向；
　　当λ=0时，λa=0，方向任意。
　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
　　数与向量的乘法满足下面的运算律
　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
　　
3、向量的的数量积

　　定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
　　向量的数量积的运算率
　　a·b=b·a（交换率）；
　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；
　　向量的数量积的性质
　　a·a=|a|的平方。
　　a⊥b 〈=〉a·b=0。
　　|a·b|≤|a|·|b|。
　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
　　3、|a·b|≠|a|·|b|
　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
　　
4、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
　　向量的向量积性质：
　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
　　a×a=0。
　　a∥b〈=〉a×b=0。
　　向量的向量积运算律
　　a×b=-b×a；
　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
　　（a+b）×c=a×c+b×c.
　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

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Answer 3

向量的数量积，向量的向量积，定比分点，三点共线