Question

2013年中考模拟数学试题最后一题，求解。急！

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90度,AC=6cm,BC=8cm,D是AB的中点,连接CD,点P从点C出发，沿CD方向，向点D匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点B出发，沿BA方向，向点A匀速运动，速度为2cm/s,连接BP,PQ,设运动时间为t(s)(0<=t<=5),△PQB的面积为y,解答下列问题。
(1)过点C做CE⊥AB于E，求CE的长。
(2)求y与t之间的函数关系；当t为何值时，y有最大值，并求出y的最大值。
(3)是否存在某一时刻t，使得△PQD为等腰三角形？若存在，求出此刻t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）第一问。。。。初看这题目，简直吓尿了。。。这么长。。。不过第一问我猜我还是可以解出来的。。。。一个三角形两直角边为6、8而且还是直角三角形，那么很容易得出斜边为10.。。。。。通过面积来求，6*8=10*X，那么X作为斜边上的高就为4.8.。。。。。。
（2）第二问。。。。我没想到计算量会如此大。。。是不是我的计算方式有问题。。。。。

要求三角形BPQ面积，第一反应就是不是直接求，这样一个只知道BQ为2t的玩意叫我如何是好？？！！！所以必须间接求它的面积，由于D为中点，所以只要把BCP和PQD的面积求出来，就可以算出y的大小了，最好因为这三个triangle的面积就是整个三角形面积的一半！！！！！

但是实际要算了，发现要求BCP和三角形PQD也不是那么好解决的，因为它们并不特殊，但是当我们求BCP的面积时，我第一反应是要把cp看做是底边，只要求出以CD为底的高就好了，那么BCP的面积就很容易求了，于是不妨做辅助线以B为顶点，做高，交CD延长线与O点。。。。。
却不难发现！！！！三角形BCO和三角形CBE其实是全等三角形，因为。。具体自己看看吧，所以算出来高就是4.8.。。。。那么三角形BCP的面积其实就为0.5*t*4.8=2.4t.......

终于算出来一个了！！！！！那么我们赶紧来看看PQD的面积！！！！同理三角形PQD我们也要以QD为底边，那么QD其实就是BD-BQ=5-2t！！！！有没有很神奇？！！！
但是高的话好像不是那么好求，这样我们又需要作辅助线以P为顶点向AB做垂直线，那么通过三角形的相似定理，CD/PD=CE/(三角形PQD的高)，那么高就可以表示为4.8*(5-t)/2，那么三角形PQD面积也可以表示出来了。。。。

y和t的关系我没算，但是我算了什么时候y最大，其实就是两个三角形的面积和最小的时候！！！
易得y的关系式为0.96t^2-4.8t+12.....我不知道有木有算错，但是这个抛物线的开口向下，一定有最低点！！！但是好像我忘了一点，t是有范围的，在0到5之间，求出来的最低点t=2.5，因此符合条件！！！！！所以t=2.5的时候y最大！！！！！！

第三问。。。。QD为5-2t，PD为5-t两个要成为等腰三角形。。。恐怕不容易吧。。。除非t=0.。。。。

Answer 2

追问

t=0也是等腰三角形吧，
应该是5-t=2t-5吧
其他两种情况您也给解一下吧。谢谢

追答

要用t和其它已知量表示出PQ，得用到高中的知识（余弦定理），你应在读初三，不要在这一问上浪费时间了。

追问

考试题，我改错，帮帮忙啦。

追答

我想不出初中的方法。

追问

那就按你的方法做，我采纳

追答

……