Question

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2）

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2），直线y=- x与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图

Answer 1

解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-2 /3 x上，
∴-2=-2 /3 x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O；
∴ 16a+4b+c=0 c=0 9a+3b+c=-2 ，
解得： a=2/ 3 b=-8 /3 c=0 ；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=2/ 3 x2-8 /3 x；（8分）
（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-2/ 3 x，
∴直线AM为y=-2/ 3 x+8/ 3 ；
∴-2/ 3 x+8 /3 =2 /3 x2-8 /3 x
解得：x1=-1，x2=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，10/ 3 ）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=2/ 3 x2-8/ 3 x，
解得：x1=7，x2=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，10 /3 ）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．

Answer 2

解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-23x上，
∴-2=-23x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O；
∴16a+4b+c=0c=09a+3b+c=-2​，
解得：a=
23b=-
83c=0​；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=23x2-83x；（8分）

（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-23x，
∴直线AM为y=-23x+83；
∴-23x+83=23x2-83x
解得：x1=-1，x2=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，103）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=23x2-83x，
解得：x1=7，x2=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，103）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．

Answer 3

解：（1） D在BC上，BC∥ 轴，C ∴设D（ ，-2）----------------------（1分）
D在直线 上 ∴ --------------------（2分）
∴D（3，-2）----------------------------------------------------------------------（1分）
（2） 抛物线 经过点A、D、O
∴ 解得： -------------------------------（3分）
所求的二次函数解析式为 -------------------------------------------（1分）
（3）假设存在点 ，使 、 、 、 为顶点的四边形是梯形
①若以OA为底，BC∥ 轴，抛物线是轴对称图形
∴点 的坐标为（ ）-----------------------------------------------------（1分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M
直线OD为 ∴直线AM为
∴ 解得： （舍去）
∴点 的坐标为（ ）----------------- ------------------（2分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M
直线AD为 ∴直线OM为
∴ 解得： （舍去）
∴点 的坐标为（ ）----------------------------------------------------------（1分）
∴综上所述，当点 的坐标为（ ）、（ ）、（ ）时以 、 、 、 为顶点的四边形是梯形

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