Question

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,连接CD,过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE,过AF⊥AE

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,连接CD,过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE,过AF⊥AE交CD于点F
求证：AE=AF
求证：CD=2BE+DE

Answer 1

求证：AE=AF

∵AE⊥AF

∴∠EAF=90°

∴∠EAB+∠BAF=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAF+∠FAC=90°

∴∠EAB=∠FAC

∵BE⊥CE

∴∠BEC=90°

∴∠AEB=90°+∠AEF

∵∠AFC=90°+∠AEF

∴∠AEB=∠AFC

∵AB=AC

∴△AEB≌△AFC

∴AE=AF

求证：CD=2BE+DE

作AG⊥CE，则∠AGD=90°

∵BE⊥CE

∴∠BED=90°

∴∠AGD=∠BED

∵D是AB中点

∴AD=BD

∵∠ADG=∠BDE

∴⊿ADG≌⊿BDE

∴AG=BE

    DG=DE

∵△AEB≌△AFC

∴BE=CF

    AE=AF

∴G是EF中点

∵∠EAF=90°

∴AG=FG

∴CF=FG=BE

∵CD=CF+FG+DG

∴CD=2BE+DE

Answer 2

①∵AEBD四点共圆｛直径上的圆周角是直角之逆定理｝，
∠AEC＝∠ABC｛同弧上的圆周角相等｝＝45º｛已知直角△等腰｝＝∠AFE｛互余｝；
∴AE＝AF。
②∵CD·DE＝BD·AD｛相交弦定理｝＝BD²｛已知D是AB中点｝＝BE²＋DE²｛勾股定理｝，
CD＝BE²／DE＋DE；
∵BE／DE＝AD／AC｛同弧上的圆周角相等，直角△BED∽直角△CAD｝
＝2｛AB＝AC｝，代入上式得
∴CD＝2BE＋DE。