Question

高等代数问题

证明题

Answer 1

都用反证法来做，
(1)、假设η*，ξ1，ξ2…ξn-r是线性相关的，
又因为ξ1，ξ2…ξn-r是对应的齐次线性方程组的基础解系，
那么显然ξ1，ξ2…ξn-r是线性无关的，
所以如果η*，ξ1，ξ2…ξn-r是线性相关的话，
则η*一定可以表示成ξ1，ξ2…ξn-r的线性组合，而且是唯一的线性表示，
不妨设η*=k1*ξ1+k2*ξ2+…+k(n-r)*ξn-r，

由于ξ1，ξ2…ξn-r是对应的齐次线性方程组的基础解系，
所以很显然Aξi=0，
对η*=k1*ξ1+k2*ξ2+…+k(n-r)*ξn-r等号两边同时左乘矩阵A，
即得到Aη*=0，
这与Aη*=β矛盾，
所以原假设不成立，
即η*，ξ1，ξ2…ξn-r是线性无关的

第2问和第1问完全类似，我就不写了，
而且η*，ξ1+η*，ξ2+η*…ξn-r+η*就是由η*，ξ1，ξ2…ξn-r线性组合而成的，
η*，ξ1，ξ2…ξn-r线性无关，
那么η*，ξ1+η*，ξ2+η*…ξn-r+η*也是肯定线性无关的