Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB延长线上一点，且BD=BC，CE⊥CD交AB于E． （1）求证：△ACE∽△ADC；

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB延长线上一点，且BD=BC，CE⊥CD交AB于E．
（1）求证：△ACE∽△ADC；
（2）若BE：EA=3：2，求sin∠A的值．求完整解答

Answer 1

(1)由于CE⊥CD,即∠ECD=90°,
因为∠ECD=∠ECB+∠BCD,∠ACB=∠ACE+∠ECB,
又因为 ∠ECD=90°= ∠ACB,
则∠BCD=∠ACE,
因为BD=BC,所以三角形CBD为等腰三角形，则∠BCD=∠BDC，
所以∠ACE=∠BDC，
因为∠A=∠CAE=∠DAC,
则三角形ACE相似于ADC
(2)设BE为3a，BD为b，则EA=2a，AB=5a，BC=b，a>0,b>0
由于三角形ACE相似于ADC,
则 AE/AC=AC/AD,即：AC^2=AE*AD，
由于∠ACB=90°,AC^2=AB^2-BC^2=(5a)^2-b^2
则：(5a)^2-b^2=（2a）*（5a+b），则（3a-b）*(5a+b)=0,
由于a>0,b>0,则3a-b=0,即b=3a,
由于∠ACB=90°，则sina∠A=BC/AB=b/5a=3a/5a=3/5

Answer 2

解：（1）∵BD=BC，
∴∠DCB=∠D
又∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠D=∠DCB=∠ACE又∵∠A=∠A
∴△ACE∽△ADC
（2）∵∠DCB+∠BCE=90°，∠D+∠DEC=90°，又∠DCB=∠D，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC．
BE：EA=3：2，令BE=3k，EA=2k，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3k，AB=5k
∴sin∠A=BC比AB=3比5