Question

已知sin(2α+β)=2sinβ,求证:tan(α+β)=3tanα

Answer 1

sin(2α+β)=2sin[β
sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α]
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=2[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα
sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=0
sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα
sin(α+β)/cos(α+β)=3sinα/cosα
tan(α+β)=3tanα

Answer 2

5sin[(α+β9-α]=sin[α+（α+β）]
5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
等式两边同除sin（α+β）sinα，得
3/tan(α+β)=2/tanα
所以2tan(α+β)=3tanα