Question

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边

OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

Answer 1

⑴如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．

若在边OA上任取点E'与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E'

由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，

可知△CDE的周长最小．

∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，

∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，

∵OE∥BC，

∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，

如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2， 

∵GC∥EF，GC=EF，

∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，

又DC、EF的长为定值，

∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．

∵OE∥BC，

∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，

Answer 2

解：（1）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E．
∵OB=4，OA=3，D是OB的中点，
∴OD=2，则D的坐标是（0，2），C的坐标是（3，4）．
∴D′的坐标是（0，-2）．
设直线CD′的解析式是：y=kx+b．
则
3k+b=4b=-2
．
解得：
k=2b=-2
则直线的解析式是：y=2x-2．
在解析式中，令y=0，得到2x-2=0，
解得x=1．
则E的坐标为（1，0）；
（2）作出D的对称点D′，把D′向右平移两个单位长度到M，则连接CM，与x轴的交点就是F，F点向左平移2个单位长度就是E．
∵D′的坐标是（0，-2），
∴M的坐标是（2，-2）．
设直线CM的解析式是：y=kx+b．
则
3k+b=4，2k+b=-2
解得：
k=6b=-14
则直线的解析式是：y=6x-14．
在y=6x-14中，令y=0，
解得x=7/3
∴点F的坐标为（7/3，0）
则点E的坐标为（1/3，o）

．

Answer 3

在CB上取CM=2，则M（1，4），在y轴的负半轴上取D的对称点N（0，-2），连接MN交X轴于点E，连接DE，CF，此时四边形CDEF的周长最小。（按我的叙述画图）
因为CD，EF是定值，只要DE+CF最小即可。按上述作图，DE+CF=MN（两点间线段最短）
设直线MN的解析式为Y=KX+B，则
B=-2，K+B=4，
K=2，解析式为：Y=2X-2
当Y=0时，2X-2=0，X=1，
所以，点E的坐标为（1，0），点F的坐标为（3，0）

Answer 4

D为边 好像是D为边OB的中点吧？