Question

已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-af(x)

已知函数f(x)=x^2+1且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-af(x).试问是否存在实数a使得G(x)在(负无穷,-1)上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数?

Answer 1

G(x)=g(x)-af(x)=(x^2+1)²+1-a(x²+1)=x⁴+(2-a)x²+1-a
G'(x)=4x³+2(2-a)x
若G(x)在(负无穷,-1)上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数
则G'(-1)=0,即 -4-2（2-a)=0,a=4
此时G'(x)=4x³-4)x=4x(x+1)(x-1)
x∈(-∞,,-1) 时 G'(x)<0,G(x)为减函数
x∈(-1,0) 时 G'(x)>0,G(x)为增函数
所以，存在实数a=4使得G(x)在(负无穷,-1)上为
减函数,并且在(-1,0)上为增函数.

追问

G（x）应该=x^4+(2-a)x^2+2-a啊

追答

确实，电脑屏幕花眼，漏掉了，见谅，不影响后面的推理
G(x)=g(x)-af(x)=(x^2+1)²+1-a(x²+1)=x⁴+(2-a)x²+2-a
G'(x)=4x³+2(2-a)x
若G(x)在(负无穷,-1)上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数
则G'(-1)=0,即 -4-2（2-a)=0,a=4
此时G'(x)=4x³-4)x=4x(x+1)(x-1)
x∈(-∞,,-1) 时 G'(x)0,G(x)为增函数
所以，存在实数a=4使得G(x)在(负无穷,-1)上为
减函数,并且在(-1,0)上为增函数.

Answer 2

由题意得G(x)=(x^2+1)^2+1-a(x^2+1) 求G(x)的导数，令G(x)的导数等于0，解得X=？ 问号里含a了，然后X=?=1，就可求得a，求不出来就是没有实数a，不知我的理解能让你明白不？