Question

求解一道偏微分方程

ux+2uy-4u=e^(x+y）
边值条件：u（x，4x+2）=0
求详细过程！

Answer 1

由于只有一阶偏微分，所以作线性变量代换
α=x+y（这是因为等号的右边含有x+y）
β=ax+by
由链式法则可知
∂u/∂x=∂u/∂α+a∂u/∂β
∂u/∂y=∂u/∂α+b∂u/∂β
代入原方程得
3∂u/∂α+(a+2b)∂u/∂β-4u=e^(x+y)，这里将u看成关于α，β的函数
不妨取a=2,b=-1
那么α=x+y,β=2x-y
那么有3∂u/∂α-4u=e^α
这相当于关于α的一阶线性常微分方程
解得u=-e^α+Ce^(4α/3)，其中C为关于β=2x-y的函数f(2x-y)
即u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)
将边值条件代入得
f(-2-2x)=e^(-(2/3) - (5 x)/3)
因此f(x)=e^(1+(5x)/6)
代入u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)得
u=e^(3x+y/2+1)-e^(x+y)

追问

感谢,基本理解了, 但请问一下,解得u=-e^α+Ce^(4α/3)，其中C为关于β=2x-y的函数f(2x-y)
C为何为关于β的函数,我对常数变易法掌握不是很好,请详细说明一下,谢谢!

追答

你看这部分：
那么有3∂u/∂α-4u=e^α (*)
这相当于关于α的一阶线性常微分方程。
我这里把β当成了常量，或者说把u看成只关于α的函数。
正式一点是v(α)=u(α,β)
(*)就成为
3v'-4v=e^α <-----这是一个常微分方程
解是v=-e^α+Ce^(4α/3)，这时C是关于α常数，换句话说，C是关于β的函数