Question

如图在平面直角坐标系中抛物线y=1/2x²-2x+3与y轴于点A。P为抛物线上一点且与点A不重合，连接AO、AP为

作平行四边形OAPQ，PQ所在的直线与x轴交于点B，设点P的横坐标为m
（1）点Q落在x轴上时m的值
（2）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线段PQ的长取最大值，并求出这个最大值

Answer 1

解：(1) 令x=0 可得点A坐标为（0，3）．当点Q落在x 轴上时，PQ=OA=3 ，在 y=1/2x2-2x+3中，令y=3可求得点P横坐标m=4
(2)∵QB=OA－PB =3－PB，∴当PB取最小值时，QB最大．当 x=2时，二次函数 y=1/2x2-2x+3有最小值 y=1∴当m=2 时QB的最大值为1

追问

第二问错了

Answer 2

解：（1）抛物线y=1/2x2-2x+3与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，3）．
∴OA=3．
∵四边形OAPQ为平行四边形，
∴QP=OA=3．
∴当点Q落在x轴上时，1/2m2-2m+3=3，
解得：m1=0，m2=4．
当m=0，点P与点A重合，不符合题意，舍去．
∴m=4．

（2）解法一：∵点P的横坐标为m，
∴BP=12m2-2m+3．
∴QB=QP-BP=3-（12m2-2m+3），
=-12m2+2m，
=-12（m-2）2+2，
∵点Q在x轴下方，
∴0＜m＜4．
∴m=2时，线段QB的长取最大值，最大值为2．

解法二：∵QP=3，QB=3-BP，
∴线段BP的长取最小值时，线段QB的长取最大值．
当点P为抛物线的顶点时，线段BP的长取最小值．
当x=-b2a=2时，y=
4ac-b24a=
4×
12×3-44×
12=1．
∴线段BP的长最小值为1．
∴m=2时，线段QB的长取最大值，最大值为3-1=2．

Answer 3

解：（1）抛物线 与y轴交于点A，
∴点A的坐标为 ．∴OA=3．
∵四边形OAPQ为平行四边形，
∴QP=OA=3．
∴当点Q落在x轴上时， ．
解得 ．
当m=0，点P与点A重合，不符合题意，舍去．
∴m=4．

Answer 4

解：（1）抛物线y=12x2-2x+3与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，3）．
∴OA=3．
∵四边形OAPQ为平行四边形，
∴QP=OA=3．
∴当点Q落在x轴上时，12m2-2m+3=3，
解得：m1=0，m2=4．
当m=0，点P与点A重合，不符合题意，舍去．
∴m=4．

（2）∵点P的横坐标为m，
∴BP=12m2-2m+3．
∴QB=QP-BP=3-（12m2-2m+3），
=-12m2+2m，
=-12（m-2）2+2，
∵点Q在x轴下方，
∴0＜m＜4．
∴m=2时，线段QB的长取最大值，最大值为2．

Answer 5

解：(1) 令x=0 可得点A坐标为（0，3）．当点Q落在x 轴上时，PQ=OA=3 ，在 y=1/2x2-2x+3中，令y=3可求得点P横坐标m=4