Question

如图，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．

如图，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，-m-1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y = ax² + bx - 3a 中，x=-1时，y=0；x=0时，y=-3.
分别代入解得：a = 1 b = - 2
故所求解析式为y = x² - 2x - 3
（2）y = x² - 2x - 3中，x = m时，y = - m - 1.代入得：
m² - m - 2 = 0
（m - 2）（m+1）= 0
解得：m = 2 或 m = - 1（不合题意，舍去）
则D（2，- 3）
y = x² - 2x - 3中令y=0得x = - 1或x = 3，故B（3,0）
由B（3,0），C（0，-3）易得直线BC的解析式为：y = x - 3
由 DD‘⊥BC，D（2，- 3）易得直线DD’的解析式为：y = - x - 1，其与y轴交于（0，- 1）。
（0，- 1）与D（2，- 3）关于BC对称
∴ D‘（0，- 1）
（3）存在符合条件的点P。
易得BD的解析式为：y = 3x - 9
作CE∥BD交x轴于点P，则∠PCB=∠CBD。此时，BP = CD = 2，故P（1,0）
作∠BCP =∠CBD，CP交x轴于点P，（在点B右侧）
设直线BD交y轴于点M，易得M（0，- 9） 显然有△OCP≌△OBM，则P（9,0）
故符合条件的点P有（1,0）和（9,0）

Answer 2

1)把AC的坐标带入解析式可得：a=1,b=2，所以解析式为y=x^2+2x-3
2）点D（m，-m-1）代入y=x2-2x-3中，得m2-2m-3=-m-1，解得m=2或-1，
又因为点D（m，-m-1）在第四象限，所以D（2，-3），
又因为直线BC解析式为y=x-3，即点D关于直线BC对称的点D'（0，-1）；
3）存在．
过D点作DE⊥x轴，垂足为E，交直线BC于F点，
因为∠PCB=∠CBD，所以CP∥BD，
又因为CD∥x轴，四边形PCDB为平行四边形，
所以△OCP≌△EDB，所以OP=BE=1，所以P（1，0），（9，0）．