Question

导数应用：设函数y=f(x)在定义域R上满足f(x+3/2)=f(1/2-x),且过点P(0,1).在点P处的切线方程为2x+y-1=0.

设函数y=f(x)在定义域R上满足f(x+3/2)=f(1/2-x),且过点P(0,1).在点P处的切线方程为2x+y-1=0.又P'点的横坐标为2，且P'在y=f(x)的图像上，则过P'点的切线方程为————。
答案是2x-y-3=0,求过程

Answer 1

f(x+3/2)=f(1/2-x)

说明函数图像关于x=1对称，

所以，P与P'也关于x=1对称，

所以，两条切线也关于x=1对称，

2（2-x）+y-1=0

所以过P'点的切线方程为：

2x-y-3=0

追问

f(x+3/2)=f(1/2-x)

怎么说明函数图像关于x=1对称，遇到抽象函数就不太会

追答

(x+3/2)+(1/2-x)=2

说明(x+3/2)和(1/2-x)这两个点的中点的横坐标为1

即(x+3/2)和(1/2-x)这两个点到直线x=1的距离一样
它们的函数值一样大，就说明
(x+3/2)和(1/2-x)这两个点关于直线x=1对称
由于点的任意性
于是，函数f(x)的图像关于直线x=1对称

Answer 2

由切线方程的定义有y-f（x0）=f '(x0)×(x-x0),当x0=0时，f(x0)=1,则有f '(x0)=-2;
由已知f(x+3/2)=f(1/2-x)可得f(x)=f(2-x){过程：令t=x+3/2，有x=t-3/2，代入，得f(x)=f(2-x)}
对上式两侧同时求导，有f '(x)=-f '(2-x),当x=2时，有f(2)=f(0)=1,f '(2)=f '(0)=2，
所以有y-f（2）=f '(2)×(x-2)，得y-1=2×(x-2)。即2x-y-3=0