Question

如图，△ABC中，AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线（1）求证：AC=AD（2）若∠B=60°

如图，△ABC中，AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线（1）求证：AC=AD（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形

Answer 1

AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线则
∠B=∠ACB,∠CAD=1/2∠CAF=1/2(∠B+∠ACB)=∠ACB
所以AD平行BC
所以∠D=∠DCE=∠ACD
所以AC=AD
∠B=60°
所以∠B=∠ACB=∠BAC=∠CAD=∠D=∠ACD=60°
所以AB=AC=BC=CD=AD
所以菱形ABCD

Answer 2

【解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD＝∠B，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠D＝∠ACD，
∴AC＝AD；）
（2）证明：∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝∠B＝60°，
∴DC∥AB,
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又由（1）知AC＝AD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．

Answer 3

证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC=
1
2
∠FAC，
∵∠B+∠BCA=∠FAC，
∴∠B=
1
2
∠FAC，
∴∠B=∠FAD，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD；
（2）∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．

Answer 4

证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC=12∠FAC，
∵∠B+∠BCA=∠FAC，
∴∠B=12∠FAC，
∴∠B=∠FAD，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD；

（2）∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．