Question

已知集合M＝{x|x＜-3或x＞5}，P＝{(x-a)(x-8)≤0}问：(1)求实数a的取值范围

Answer 1

我猜题目是：
已知集合M={x|x<-3 或x>5} ，P={x| （x-a ）（x-8 ）≤0} ．
(1) 求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8} 的充要条件；
(2) 求实数a 的一个值，使它成为M∩P={x|5<x ≤8} 的 一个充分但不必要条件；
(3) 求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个必要但不充分条件.

解：
解：(1)由M∩P={x|5<x≤8}，得-3≤a≤5，
因此M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}．
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值，如取a=0，此时必有M∩P={x|5<x≤8}；反之，M∩P={x|5<x≤8}未必有a=0，故a=0是所求的一个充分但不必要条件．（答案不唯一）
(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故{a|-3≤a≤5}是它的一个真子集．如果{a|a≤5}时，未必有M∩P={x|5<x≤8}，但是M∩P={x|5<x≤8}时，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一个必要但不充分条件．（答案不唯一）

追问

（1）进一步解答一下

追答

（1）∵集合M={x|x＜-3，或x＞5}，P={x|（x-a）•（x-8）≤0}．
若a≥8，则M∩P={x|8≤x≤a}，不满足条件；
若5＜a＜8，则M∩P={x|a＜x≤8}，不满足条件；
若-3≤a≤5，则M∩P={x|5＜x≤8}，满足条件；
若a＜-3，则M∩P={x|a＜x＜-3，或5＜x≤8}，不满足条件；
故M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件为a∈[-3，5]
这下满意了吗，亲？