Question

在三角形ABC中,求证:cosA+cosB+cosC=<3/2

Answer 1

由函数的上凸性，这是很显然的

Answer 2

在三角形ABC中,求证:cosA+cosB+cosC=<3/2 maxlove的方法正确，但中学同学接受不了。 下面给三个中学生可以理解的方法。 证明一 （逐步调整法）由和差化积公式得 cosA+cosB+cosC+cos(π/3) =2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2cos[(C+π/3)/2]cos[(C-π/3)/2] <=2{cos[(A+B)/2]+cos[(C+π/3)/2]} =4cos[(A+B+C+π/3)/4]cos[(A+B-C-π/3)/4] <=4cos[(A+B+C+π/3)/4] =4cos[(π+π/3)/4] =4cos(π/3), 所以cosA+cosB+cosC<=3cos(π/3)=3/2. 注：仿上可证：sinA+sinB+sinC<=3√3/2 证明二 (一元化方法) cosA+cosB+cosC=cosA+2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2] <=cosA+2cos[(B+C)/2] =1-2[sin(A/2)]^2+2sin(A/2) =-2[(sin(A/2)-1/2]^2+3/2 <=3/2 证明三 (配方法) cosA+cosB+cosC=<3/2 <==>(1-cosA-cosB)^2+(sinA-sinB)^2>=0 注：一般地，在三角形ABC中，对于任意实数x,y,z,有如下著名的“三角形嵌入不等式”： x^2+y^2+z^2>=2yzcosA+2zxcosB+2xycosC. (*) 证明：(*)<==>(z-ycosA-xcosB))^2+(ysinA-xcosB)^2>=0 特别地，在(*)式中，取x=y=z=1,即得 cosA+cosB+cosC=<3/2 (1) 在(*)式中，取A=B=C=π/3,即得 x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx (2) 因此，不等式(*)是两个常用不等式(1),(2)的联合推广.