Question

高中函数导数问题

如图

Answer 1

1、a=1时，f（x）=x²-x-ln（x-1）
f‘（x）=2x-1-1/（x-1）
f’（x）=0时，有x=1.5
所以f（x）的最值为f（1.5）=0.75+ln2
2、f‘（x）=2x-a-a/（x-1）
f’（x）>0时，
x>a/2+1
又f（x）的定义域是（1，正无穷）
所以f（x）在（1，a/2+1）上递减，在[a/2+1，正无穷）上递增。
3、设g（x）=f（x）-（5/8+ln2）=x²-ax-aln（x-1）-5/8-ln2
依题意，g（x）的图像与x轴无公共点
g‘（x）=2x-a-a/（x-1）
g’（x）=0时，解得x=a/2+1
所以只需g（a/2+1）>0即可
（a/2+1）²-a（a/2+1）-aln（a/2）-5/8-ln2>0
-a²/4-aln（a/2）+3/8-ln2>0
取a=1，则上式可化为-1/4+ln2+3/8-ln2>0
即1/8>0，显然成立
所以存在a=1满足要求

Answer 2

f'(x)=2x-a -a/(x-1)=x(2x-2-a)/(x-1) ，x>1
(1)当a=1时，f'(x)=x(2x-3)/(x-1)，令f'(x)=0，得x=3/2
当x>3/2时，f'(x)>0，f(x)为增函数，当1<x<3/2时，f'(x)<0，f(x)为减函数，所以
最小值为f(3/2)=3/4 +ln2
(2)当a≤0时，由于x>1，所以 2x-2-a>0，从而f'(x)=x(2x-2-a)/(x-1)>0，f(x)的增区间为（1，+∞）。
当a>0时，令f'(x)>0，解得 x>1+a/2，增区间为（1+a/2，+∞），同理，减区间为（1，1+a/2)
(3)当a=1时，f(x)的最小值为3/4 +ln2>5/8+ln2，从而y=f(x)与y=5/8+ln2无交点。即存在a=1，即可满足条件。

Answer 3

(1)3/4+ln(2)
(2)1.a>0,(1,1+0.5a)down,(1+0.5a,+)up
a<=0(1,+)up
(3)a=1就是