Question

实矩阵的属于实特征值的特征向量都是实的吗？

Answer 1

实矩阵的属于实特征值的特征向量都是实的：

1.实矩阵的属于实特征值的特征向量“一定可以取成实的”。

2.如果λ是实矩阵A的实特征值，那么其特征向量是实数域上的方程组(A-λI)x=0的解，可以取成实的。
但是不能说x一定是实的，在复数域上ix显然也是A的特征向量，并且不是实的。

实矩阵：

实矩阵指的是矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数，那么这个矩阵就不是实矩阵。

Answer 2

合理的讲法是

实矩阵的属于实特征值的特征向量“一定可以取成实的”

如果λ是实矩阵A的实特征值，那么其特征向量是实数域上的方程组(A-λI)x=0的解，可以取成实的。
但是不能说x一定是实的，在复数域上ix显然也是A的特征向量，并且不是实的。

Answer 3

合理的讲法是

实矩阵的属于实特征值的特征向量“一定可以取成实的”

如果λ是实矩阵A的实特征值，那么其特征向量是实数域上的方程组(A-λI)x=0的解，可以取成实的。
但是不能说x一定是实的，在复数域上ix显然也是A的特征向量，并且不是实的。

Answer 4

实矩阵的特征值不一定都是实数,只有实对称矩阵的特征值才保证是实数.复矩阵的特征值也可能有实数.例如[1 i; -i 1]的特征值就是0和2,两个都是实数.

Answer 5

思路大概是这样的设实对称矩阵a的两不同特征值k1，k2对应的特征向量a，b，则a‘ab=k1*a’b此式的左边为一实数，故其转置与其相等，再由a为实对阵矩阵，有a‘ab=b'a‘a=b’aa=k2*b'a即k1*a’b=k2*b'a又由a’b=b'a，k1不等于k2故a’b=b'a=0