Question

证明不等式 （1）当0<x<π/2时,sinx+tanx>2x ? 当0<x<π/2时,试证x-x^3/6<sinx<x ?

答案是其次的，主要是过程了，越详细越好！

Answer 1

这两个不等式中，sinx、tanx、2x均在0点处连续可导，而tanx在π/2处没有意义，所以当x趋近于0时，假如令f(x)=sinx+tanx-2x，有f(x)趋近于f(0)

（1）求导，
f(x)=sinx+tanx-2x, 有f'(x)=cosx+1/(cosx)^2-2=[(cosx)^3+1-2* (cosx)^2]/(cosx)^2, 分母必大于0，所以，只讨论分子的情况，令g(x)=(cosx)^3+1-2* (cosx)^2
g'(x)=-3(cosx)^2*sinx+4cosx*sinx=3cosx*sinx*(-cosx+4/3) 必大于0，因为cosx,sinx值域为(0,1)，
所以，g(x)为增函数，(0,π/2)间，由于在0点连续，最小值趋近为g(0)=1^3+1-2=0，所以，g(x)>=0，
所以f'(x)=g(x)/(cosx)^2 >=0，所以f(x)为增函数，最小值为f(x)=f(0)=sin0+tan0-2*0=0
所以，(0,π/2)间 f(x)>0，即sinx+tanx>2x

（2）证明sinx<x，令f(x)=x-sinx
求导，f'(x)=1-cosx 所以，(0,π/2)间，f(x)为增函数, 由于在0点连续，导数也连续，最小值趋近为f(0)=0，
所以，(0,π/2)间，x>sinx
证明x-x^3/6<sinx，令r(x)=sinx-x+x^3/6
求导，r'(x)=cosx-1+x^2/2 令y(x)=cosx-1+x^2/2
y'(x)=-sinx+x ，在(0,π/2)间，sinx<x，所以y'(x)>0，y(x)最小值为y(0)=0，所以在(0,π/2)间,r'(x)=y(x)>y(0)=0
所以r(x)为增函数，r(x)>r(0)=0

Answer 2

（1）设0≤x<π/2，所以 0<cosx≤1，cos²x≤cosx
令f(x)=sinx+tanx-2x，0<x<π/2，
则f'(x)=cosx+1/cos²x -2 ≥cos²x +1/cos²x -2≥2cosx•1/cosx -2=0
所以 f(x)在[0，π/2）上是增函数，
所以当 0<x<π/2时，有 f(x)>f(0)=0，即 sinx+tanx>2x 。
（2）令 h(x)=x-sinx，0≤x<π/2，则h'(x)=1-cosx≥0，
h(x)是[0，π/2）上的增函数，当 0<x<π/2时，有h(x)>h(0)=0，即 sinx<x
令g(x)=sinx -x+x³/6，0≤x<π/2，则g'(x)=cosx -1+x²/2，g''(x)=-sinx+x≥0
所以 g'(x)在[0，π/2）上是增函数， g'(x)≥g'(0)=1-1+0=0，从而 g(x)在[0，π/2）上的增函数，
当 0<x<π/2时，有g(x)>g(0)=0，即 sinx >x- x³/6
所以 x- x³/6<sinx<x