Question

一道数学题 若关于x的方程√（4-x²）-kx-3+2k=0有且只有两个不同实数根，求实数k的取值范围

高一数学，求大神相助

Answer 1

将方程 √(4-x^2)-kx-3+2k=0转化为：√(4-x^2) =kx+3-2k
即半圆 y=√(4-x2)与直线y=kx+3-2k有两个不同交点．（画出二者的图像）
当直线与半圆相切时，有 |3-2k|/√(k^2+1)=2,
k= 5/12.
∴半圆 y=√(4-x^2)与直线y=kx+3-2k有两个不同交点时．
直线y=kx+3-2k=k（x-2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（-2，0）时直线的斜率k取最大值为 3/4.
此直线绕固定点（2,3）旋转，一直会有两个不同的交点，直到：
点（-2,0），再旋转只剩一个交点,
过点（-2,0）、（2,3）的直线斜率为3/4
k∈ (5/12，3/4].

Answer 2

一道数学题 若关于x的方程√（4-x²）-kx-3+2k=0有且只有两个不同实数根，求实数k的取值范围
解：√(4-x²)=kx+3-2k
两边平方去根号得 4-x²=k²x²+2(3-2k)kx+(3-2k)²
(k²+1)x²+2(3-2k)kx+(3-2k)²-4=0
因为有且只有两个不同实数根，故其判别式;
Δ=4k²(3-2k)²-4(k²+1)[(3-2k)²-4]=4k²(3-2k)²-4(k²+1)(3-2k)²+16(k²+1)=-4(3-2k)²+16(k²+1)
=-4(9-12k+4k²)+16k²+16=48k-20>0；故得k>20/48=5/12.
及k的取值范围为(5/12，+∞）

Answer 3

画出x^2+y^2=4(y>=0)和y=kx-2k+3的图像
当两者相切时，由|-2k+3|/√（k^2+1）=2得
k=5/12
此直线绕固定点（2,3）旋转，一直会有两个不同的交点，直到：
点（-2,0），再旋转只剩一个交点
过点（-2,0）、（2,3）的直线斜率为3/4
故k的取值范围为(5/12,3/4]

Answer 4

√（4-x²）-kx-3+2k=0
√（4-x²）=（kx+3-2k）
（4-x²）=（kx+3-2k）^2
（4-x²）=（kx）^2+9+4k^2+6kx-(4k^2)x-12k
(1+k^2)x^2+(6k-4k^2)x+5+4k^2-12k=0
只有两个不同实数根△>0
△=(6k-4k^2)^2-4*(1+k^2)*(5+4k^2-12k)>0
可求K的取值范围(5/12,3/4] 。