Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3）

已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3）且g（x）=f（x-1），则f（2009）+f（2010）=

Answer 1

显然f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
由已知，g(0)=0 , g(-1)=3 => g(1)=-3 => f(-2)=f(2)=3 , f(0)=-3 f(-1)=f(1)=0
且 f(x)=g(x+1)=-g(-x-1)=-f(-x-2)=-f(x+2) => f(x)=-f(x+2)
故 f(2009)=f(1)=0 , f(2010)=-f(0)=3 => f(2009)+f(2010)=3

Answer 2

g(0)=f(-1)=f(1)=0，f(2)=f(-2)=g(-1)=3
g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)=-g(x)=-f(x-1)，f(x+1)=-f(x-1)
f(x+4)=f[(x+3)+1]=-f[(x+3)-1]=-f(x+2)=-f[(x+1)+1]=f[(x+1)-1]=f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数。
f(2009+f(2010)=f(1)+f(2)=3

Answer 3

f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
f(x)=g(x+1)=-g(-x-1)=f(-x)=g(-x+1)
-g(-x-1)=g(-x+1)
-g(x)=g(x+2)
g(x+4)=g(x)
g(x),T=4，由f(x)平移得到
f(x),T=4
f（2009）+f（2010）=f（1)+f(2)

Answer 4

因为f（x）是定义在R上的偶函数g（x）是定义在R上的奇函数 所以f(-x)=f(x),g(-x)-g(x)
因为g（x）过点（-1，3）所以3所以g(1因为g（x）=f（x-1）所以g(1)=f(-2)=f(2)=3 f(0)=g(-1)=-3 f(-1)=f(1)=g(0)=0因为g（x）=f（x-1）所以f(x)=g(x+1)=-g(-x-1)=-f(-x-2)=-f(x+2) 所以f(x)=-f(x+2)
所以 f(2009)=f(1)=0 , f(2010)=-f(0)=3所以f(2009)+f(2010)=3

Answer 5

不回答了