Question

初等数论问题 质数原根

如果p和2p+1 是奇自然数，证 φ（4p+2）=φ（4p）+2
如果p和2p-1 是奇自然数，n=2（2p-1） 证 φ（n）=φ（n+2)
打错了 p 2p+1 和2p-1 都是奇数 素数prime

Answer 1

φ(x) 就是小于x的自然数中，与x互质的数。

q=2p+1是奇质数。所以在小于4p+2=2q的自然数中，与2q不互质的有：
偶数（q-1个），q的倍数（1个）
所以，φ(2q)=(2q-1)-(q-1)-1=q-1=2p

4p，p是奇质数。所以小于4p的自然数中，与4p不互质的有：
偶数（2p-1个），p的倍数（3个），其中既是偶数又是p的倍数的有1个（就是2p）。
所以，φ(4p)=(4p-1)-(2p-1)-3+1=2p-2

所以，第一问得证。

第2问：
r=2p-1是奇质数。所以在小于n=2r的自然数中，与2r不互质的有：
偶数（r-1个），r的倍数（1个）
所以，φ(2r)=(2r-1)-(r-1)-1=r-1=2p-2

n+2=4p，p是奇质数。根据第1问的分析，φ(4p)=2p-2

所以，第二问得证。