Question

线性代数问题，求高手解答。

http://hi.baidu.com/palagin/album/item/bc5280d3572c11dff3cff56e632762d0f603c2e9.html#
为什么R(A)<n不行？

Answer 1

“b是任意的向量，Ax=b都有解”等价于“b为单位矩阵E的n个单位向量Ei(i=1,2,...,n)时方程组Ax=Ei都有解”，也等价于“矩阵方程AX=E=(E1,E2,...,En)有解”，它的充分必要条件是A可逆，所以R(A)=n

Answer 2

题目是对所有的b都得有解，不是对某一个b有解。如果r(A)<n，则A的值域不是R^n这个全空间，因此在R^n中存在向量b使得b不属于A的值域，也就是Ax=b无解。

Answer 3

因为有解条件是r(A) = r(A,b)，如果b是任意的，只有r(A)=n才能始终使这个条件成立

Answer 4

R(A)<n话，适当选择b,增广矩阵的秩可能大于R(A),这样，方程组就会无解。