Question

设函数f(x)=x^2+(lg(a)+2)x+lg(b),满足f(-1)=-2,对于x∈R，都有f(x)≥2x，求a,b的值

用高一知识解答

Answer 1

f(-1)=1-(2+lga)+lgb=-2,得a=10b
y=x^2+(lg(a)+2)x+lg(b),与y=2x最多有一个交点，
即：x^2+(3+lg(b)+2)x+lg(b)-2x=0最多有一个解，故判别式小于等于0
[1+lgb]^2-4lgb=[-1+lgb]^2<=0,得b=10,a=100

Answer 2

函数f(x)=x^2+(lg(a)+2)x+lg(b),满足f(-1)=-2
所以-2=1-lg(a)-2+lg(b)，即lg(a/b)=1，所以a=10b，
因为对于x∈R，都有f(x)≥2x，即x^2+[lg(10b)]x+lg(b)≥0恒成立，
所以[lg(10b)]^2-4lg(b)≤0，整理得[lg(b)-1]^2≤0，所以lg(b)-1=0，因此b=10，a=100.

Answer 3

见图

Answer 4

——函数的本质是一种“对应关系”。
f（-1）=2是函数f代表的对应关系具体化的一个表现，即 f 把定义域中的一个元素 -1 对应到了值域中的 2 。1 - (lg(a)+2) + lg(b) = 2 <=> lg(b) = lg(a) + 3
——f 是一个抛物线函数，与初中的一元二次方程关系密切。
对于任意x∈R，都有f(x)≥2x，则方程 f (x) - 2x = 0 的根的判别式Δ<=0，即：(lg(a))^2 - 4 lg(b) <=0 利用lg(a)与lg(b)的关系，得到 (lg(a))^2 - 4 lg(a) - 12 = 0 ，显然这又是一个一元二次方程，不过变元是lg(a)而不是x。解得lg(a)=6或-2，对于的lg(b)=9 or 1。即（a, b）=（100w，10e）或（1%，1）。（w=万，e=亿）
——小技巧：可以看出lg(a)与lg(b)各自都是个“复杂的个体”，可以用u，v来代替，在解出u，v后再计算a与b。这样做的好处是卷面可以更整洁，解题思路也不容易受干扰。