Question

已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f(1)=0，则当x属于（0,1/2）

已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f(1)=0，则当x属于（0,1/2）时，不等式f（x）+2＜log a（x）恒成立时，实数a的取值范围。

Answer 1

已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f(1)=0，则当x属于（0,1/2）时，不等式f（x）+2＜log‹a›x恒成立时，实数a的取值范围。
解：令x=1，y=0，得f(1)-f(0)=2，∵f(1)=0，∴ f(0)=-2；
再令x=1/2，y=0，得f(1/2)-f(0)=f(1/2)+2=(1/2)(1/2+1)=3/4，
故f(1/2)=3/4+f(0)=3/4-2=-5/4>-2=f(0)；
故要使不等式f(x)+2<log‹a›x在区间(0，1/2)上恒成立，则必须使-5/4+2=3/4<log‹a›(1/2)
即a的取值范围为：(1/2)^(4/3) <a<1