Question

高等数学，求详细证明。

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Answer 1

为方便书写，下面用m代替n0
首先更正一下结果，应该是大于或等于，当m=1或d=0，x=1时可取到等号
证明：两个正数列第m+1项相等，则有a+md=ax^m......① 且d≥0，∴x≥1
等差数列前m+1项之和为(m+1)a+m(m+1)d/2
等比数列前m+1项之和为a(1-x^(m+1))/(1-x)=(a-x·ax^m)/(1-x)
由①式消掉ax^m，上式=(a-x(a+md))/(1-x)=a-xmd/(1-x)
∴要证(m+1)a+m(m+1)d/2 ≥ a-xmd/(1-x)
<=> ma+m(m+1)d/2 ≥ -xmd/(1-x)
<=> a+(m+1)d/2 ≥ -xd/(1-x) 而由①式可得a=md/(x^m-1)
∴上式 <=> md/(x^m-1)+(m+1)d/2 ≥ -xd/(1-x) 消去d
<=> m/(x^m-1)+(m+1)/2 ≥ -x/(1-x)
<=> m/(x^m-1)+x/(1-x) ≥ -(m+1)/2
<=> m/(x^m-1)+1/(1-x) ≥ (1-m)/2 ......②
记f(x)=m/(x^m-1)+1/(1-x)，x>1，且x->1+时，
通分得f(x)=(mx-m-x^m+1)/[(x^m-1)(x-1)]，多次利用洛比达法则可得
limf(x)=(1-m)/2，x->1+，∴可以添加定义f(1)=(1-m)/2使得f(x)为连续函数
下面证明f(x)是单调递增函数，就可以说明f(x)≥f(1)，即②式成立
考虑f'(x)=[-m²x^(m-1)]/(x^m-1)²+1/(1-x)²，下面只需证明f'(x)≥0即可
即证1/(x-1)²≥[m²x^(m-1)]/(x^m-1)²，∵x>1，m≥1，等式两边开方得
要证 (x^m-1)/(x-1)≥mx^[(m-1)/2] ......③
而由均值不等式显然有(x^m-1)/(x-1)=x^(m-1)+...+x²+x+1
≥m[1·x·x²···x^(m-1)]^(1/m)=mx^[(m-1)/2]，
∴③式成立，即f'(x)≥0，∴f(x)单增，即f(x)≥f(1)，∴②式成立，即所证命题成立。