Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE延长线于点G。求证：BG=AF

+FG。

Answer 1

如图，记BE与CD相交于O，已知AB=AC，AD=AE，连接AO并延长交BC于H，

则由于图形的对称性，知AH是等腰三角形的对称轴，

必有AH⊥BC，且∠CAH=∠BAC/2=45°；∠ABO=∠ACO；∠OBH=∠OCH=α。

∵AF⊥BE，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠ABO，而∠FAH=∠OBH=α。

延长GF到A'，使FA'=AF，连接A'B。这样，A'G=AF+FG，须证A'G=BG。

考查⊿FAB与⊿FA'B，已有公共边FB及对应边FA'=FA，

∵FG⊥CD，∴∠A'FB=∠GFC=90°-∠OCF=90°-α；

∵AH⊥BC，∴∠AFB=90°-∠FAH=90°-α，

∴⊿FAB≌⊿FA'B，得∠FA'B=∠FAB=∠HAB+∠FAH=45°+α， ∠FBA'=∠FBA=45°，

于是∠GBA'=∠FBA'+∠OBH=45°+α=∠GA'B，

∴A'G=BG，BG=AF+FG。

追问

我们还没有学对称轴
你的答案有点杂乱，不清楚。
谢谢

追答

e...

Answer 2

过C作AB的平行线交AF的延长线于K。设GF交AC于M
那么由AB=AC，BAC ACK都是直角，ABE CAK都是90°-CAK知△ABE全等于△CAK。BE=AK
又CF=CF,MCF KCF都是45°，MFC KFC都是90°-角GBC，所以△FMC全等于△FKC。
所以FM=FK
再由角GME=角CMF=角CKF=角AEB=角MEG知道GE=GM

如果求 BG=AF+FG 可以这样

∵AD=AE,AB=AC,∠BAC为公共角
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中，
AF=FH,BF为公共边，∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠EBF+45°，∠HBG=∠EBF+45°
∴∠GBH=∠BHF
∴GB=GH
∴BG=AF+FG

Answer 3

∵AE⊥AF
∴∠EAF=90°
∴∠EAB+∠BAF=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAF+∠FAC=90°
∴∠EAB=∠FAC
∵BE⊥CE
∴∠BEC=90°
∴∠AEB=90°+∠AEF
∵∠AFC=90°+∠AEF
∴∠AEB=∠AFC
∵AB=AC
∴△AEB≌△AFC
∴AE=AF

追问

求得是bg=af+gf啊你求的是什么