Question

这个问题

3^√(1+x^2)-1=1/3*x^2 ?为什么？
sinx(1-secx)=-1/2*x^2? 为什么？

Answer 1

在这里是使用了等价无穷小的代换方法，
在x->0的时候，
3^√(1+x^2)-1和1/3*x^2是等价的
可以对这两个多项式的商求极限，
lim[x->0] [3^√(1+x^2)-1] / (1/3*x^2) （使用洛必达法则，对分子分母同时求导）
=lim[x->0] [2x/3 * (1+x^2)^(-2/3)] / (2x/3)
=lim[x->0] (1+x^2)^(-2/3)
=1
所以这两个多项式是等价的，在做乘除运算的时候可以互相替换

sinx(1-secx)=-1/2*x^2你写错了，应该是sinx(1-secx)=-1/2*x^3
应该这样做，
sinx-tanx=sinx(1-secx)=tanx*(cosx-1)
而在x->0时，tanx是x的等价无穷小，cosx-1等价于-1/2*x^2
同理
lim[x->0] (tanx)/x （使用洛必达法则，对分子分母同时求导）
=lim[x->0] 1/(cosx)^2
=1

lim[x->0] (cosx-1) / -1/2*x^2
=lim[x->0] -sinx / -x
=1

所以
sinx-tanx=sinx(1-secx)=tanx*(cosx-1)= -1/2*x^3
然后就很容易得到原极限的值了，就等于 -3

不明白再追问我
或者参考一下http://baike.baidu.com/view/2003648.html?wtp=tt 这里