Question

如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由．

Answer 1

(1)依题意设二次函数零点式
y=a(x-1)(x+1)
∵x=0时,y=1
∴-a=1,a=-1
y=-(x-1)(x+1)
y=-x²+1
（你的图和补充也太慢了）
(2) BD∥CA
所以BD所在一次函数一次系数与系数AC的一致
易知AC的解析式为y=x+1
BD的的解析式为y=x+b
代入（1，0）得，b=-1
BD的的解析式为y=x-1
y=x-1与y=-x²+1联立消去x
y²+3y=0,得由y=-3,y=0(舍去）
即D点纵坐标为yD=-3,xD=-2
所以S四边形ACBD
=SΔABC+SΔABD
=2×1×1/2+2×3×1/2=4
(3)BC=√2,
∴BD=3√2,CD=2√5
∴CD²=BC²+BD²
∴DB⊥BC,
CB:BD=1:3
ΔAMN∽ΔBCD
AN:NM=1:3或AN:NM=3:1
若AN:NM=1:3
令M( ±t-1,3t)，t<0
则3t=-(±t-1)²+1
t=-5, t=-1
M(4,-15),M(-2,-3)
若AN:NM=3:1，
令M(±3t-1,t)，t<0
t=-7/9
M(4/3,-7/9)
所以符合条件的点M共3个
M(4/3,-7/9)，M(4,-15),M(-2,-3)

Answer 2

抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），
有：a-b+1=0
a+b+1=0
解得：a=-1，b=0
所以抛物线方程为：y = -x2 + 1
与y轴交于点C（0，1）

Answer 3

根据待定系数法可得
a-b+1=0
a+b+1=0
解得：a=-1，b=0
∴抛物线方程为y=-x²+1
与y轴交于点C(0,1)

Answer 4

图呢？？