Question

过点P(3,3)的圆C与直线x-y+2=0切于点(1,3),(1)求圆C的方程，

(2)点Q是圆C上任意一点，直线x+2y+2=0与两坐标轴的交点分别为A、B，求QA向量*QB向量的取值范围（3）过点P作两条直线与圆C分别交于E、F两点，若直线PE与直线PF的倾斜角互补，试问：直线EF的斜率是否为定值？若是，求出EF的斜率，若不是，说明理由。

Answer 1

(1) 令圆C:(x-a)²+(y-b)²=r²
则(3-a)²+(3-b)²=r²（1）
(1-a)²+(3-b)²=r²（2）
r=|a-b+2|/√2 (3)
a=2,,b=2,r=√2
圆C: (x-2)²+(y-2)²=2
（2）A（-2，0），B（0，-1） Q（x,y)
QA向量*QB向量
=(-2-x,-y)·(-x,-1-y)
=2x+x²+y+y²
=(x+1)²+(y+1/2)²-5/4
其中 (x+1)²+(y+1/2)²表示动点Q
到定点S（-1，-1/2）的距离QS的平方
又CS=3√5/2
∴ 3√5/2-√2≤QS≤3√5/2+√2
(3√5/2-√2)²≤QS²≤(3√5/2+√2)²
53/4-3√10≤QS²≤53/4+3√10
12-3√10≤QS²-5/4≤12+3√10
∴ 12-3√10≤QA向量*QB向量≤12+3√10
(3)设PE：y-3=k(x-3)
代入(x-2)²+(y-2)²=2得：
（1+k²)x²+[2k(1-3k)-4]x+3-6k+9k²=0(#)
(#)的一根为3，另一根为xE=(1-2k+3k²)/(1+k²)
同理xF=(1+2k+3k²)/(1+k²) (将k换成-k即可）
yE-3=k(xE-3)= -2K (1+k)/ (1+k²)
yF-3=-k(xF-3)= 2K (1-k)/ (1+k²)
yE-yF=-4k / (1+k²)
xE-xF=(1-2k+3k²)/(1+k²)-(1+2k+3k²)/(1+k²)
=-4k / (1+k²)
kEF=(yE-yF)/(xE-xF)=1
即直线EF的斜率为定值1

Answer 2

我建议第3问最好不要用太多字母，看不懂

Answer 3

你是丰中的吧