Question

你解答过的一道双曲线题

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为 14的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|2．
解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得 |5k|k2+1= 5，
所以k=± 12，即双曲线G的渐近线的方程为y=± 12x．（3分）
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
把直线l的方程y= 14（x+4）代入双曲线方程，
整理得3x2-8x-16-4m=0，
则xA+xB= 83，xAxB=- 16+4m3．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．
将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为 x228- y27=1．（8分）
我不懂的是 为什么由∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上就可得到
（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）^2 这是怎么得来的 是跟向量有关吗 请详细说明 谢谢 ，而且怎么可以求出P的横坐标为-4？我主要是不明白为什么P的横坐标为-4呢？

Answer 1

首先题不知是何处粘贴来的，因字库符号不全，以致出现错误，如斜率为1/4，非14，

P的横坐标为-4是已知条件，原题中说明：“过点P（-4，0）作斜率为 1/4的直线l”，

圆方程 x^2-10x+25+y^2=5,

(x-5)^2+y^2=5,

圆心（5，0），半径√5，

设一条渐近线方程为y=kx,

kx-y=0,

圆心（5，0）至渐近线距离（圆半径）R=|5k-0|/√（k^2+1)=√5，

25k^2=5k^2+5,

4k^2=1,

k=±1/2，

∴渐近线方程为：y=±x/2,

直线方程为：y=(x+4)/4,y=x/4+1,故C点坐标（0，1）。

|PA|•|PB|=|PC|^2,

已知条件P、A、C、B四点共线，

在等式两边同乘（cosθ)^2,

θ是指直线和X轴的夹角，

|PAcosθ|•|PBcosθ|=|PCcosθ|^2,

|PAcosθ|=|xP-xA|,

|PBcosθ|=|xB-xP|,

|PCcosθ|=|xP-xC|,

3x^2-8x-16-4m=0,

根据韦达定理，

xA+xB=8/3,(1)

xA*xB=-(16+4m)/3,(2)

xP=-4,

C（0，1）,

（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）^2,

(-4-xA)(xB+4)=(-4-0)^2,

-4xB-xAxB-16-4xA=16,

-4(xA+xB)-xAxB=32,

由（1）（2）代入，

-4*8/3+(16+4m)/3=32,

4m=112,m=28,

∴双曲线方程为：x^2-4y^2=28,

即x^2/28-y^2/7=1。 

为便于理解，我花了很大功夫画了一张图，请对照图理解。