Question

已知椭圆C 过点M （1，3/2）两个焦点为A （－1，0）B （1， 0），O 为坐标原点 问题在问题补充里

问题是 直线L过点A(-1，0),且与椭圆C交于P 、Q两点，求三角形BPQ内切圆面积的最大值 急求

Answer 1

由条件可以求出椭圆方程
x^2/4+y^2/3=1
注意在椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a，从而三角形BPQ的周长为定值4a=8，而三角形BPQ面积等于周长乘以内切圆半径，所以只要求出BPQ面积最大值即可。
首先，使BPQ面积最大的直线肯定非X轴，从而可以设直线方程ky=x+1代入椭圆方程得到
(3k^2+4)y^2-6ky-9=0
从这个方程可以得到
y(P)+y(Q)=6k/(3k^2+4)
y(P)y(Q)=-9/(3k^2+4)
从而(y(P)-y(Q))^2 = (y(P)+y(Q))^2-4y(P)y(Q)=144(k^2+1)/(3k^2+4)^2
容易知道上式k=0时取最大值为9
|y(P)-y(Q)|最大值为3
把BPQ看成ABP和ABQ的和，易得BPQ面积为1/2*AB*|y(P)-y(Q)|，其最大值为3
从而内切圆最大半径3/4
最大面积9*Pi/16

Answer 2

1楼的答案做错了，方法是对的。k=0时不是最大值